lKB J-3

MATH-L-26033001 19.

已知：

如图， $AB \perp BC$ ，以 $Rt \triangle ABC$ 的直角边 $AB$ 为直径做 $\odot O$ ，交斜边 $AC$ 与点 $D$ ，点 $E$ 是 $BC$ 的中点，连接 $OE$ ， $DE$ ， $OD$ ； $DE$ 是 $\odot O$ 的切线。 !

欲求：

（1）若 $sinC = \frac{4}{5}$ ， $DE=5$ ， $AD$ 的长 （2）证明 $2DE^2=CD*OE$

解：

在（1）的证明过程中会用到 $BE=DE$ ，下方是补证。 补证 $BE=DE$ ：

$\because O$ 为 $AB$ 中点， $E$ 为 $BC$ 中点，即 $OE$ 为 $\triangle ABC$ 中位线，

$\therefore OE \parallel AC$ ，即 $\angle DOE = \angle ODA$ ， $\angle BOE = \angle OAD$，

$\therefore OA=OD$，即$\angle OAD = \angle ODA$ ，

$\therefore OA = OD$ ，即 $\angle OAD = \angle ODA$。

又 $\because OB=OD, OE=OE$，

$\therefore \triangle DOE \cong \triangle BOE$ 。即 $BE=DE$。

在（1）的证明过程中也会用到 $cosA=sinC=sin \angle ABD$ 即 $\angle ABD=\angle C$ ，下方是补证。 补证 $\angle ABD=\angle C$：

$\because AB$ 是 $\odot O$ 的直径，

$\therefore \angle ADB=90°$ ，即 $\angle A + \angle ABD = 90°$

又 $\because AB\perp BC$ 即 $\angle A+\angle C = 90°$

$\therefore \angle ABD = \angle C$

（1）

$\because sinC = \frac{4}{5}$，

$\therefore$ 设 $AB=4x,AC=5x$ ，易得 $BC=3x$。

又 $\because DE=5$ ， $E$ 是 $BC$ 的中点，

$\therefore BC=2BE=2DE=10$，

$\therefore x=\frac{10}{3}$。

$\therefore AB=\frac{40}{3}$。

$\because cosA=sinC=\frac{4}{5}$，

$\therefore \frac{AD}{AB}=\frac{4}{5}$，

$\therefore AD=\frac{5}{4}AB=\frac{32}{3}$

（2）

$2DE^2 = CD*DE$