lKB J-2

MATH-UNKNOWN0415 11(2).

已知：

有一次函数 $y = \frac{1}{3}x+3$ 与反比例函数 $y = \frac{12}{x}$，相交于点 $A(3,4)$ ，点 $B(-12,-1)$。 !

欲求：

若 $x$ 轴上有一点 $C$ ，使得 $\triangle AOC$ 等腰，点 $C$ 的坐标。

解：

这是一道较为经典的多答案几何题。我们分情况讨论，要注意题目并未对点 $C$ 的位置做过多限制，仅限制了点 $C$ 在 $x$ 轴上。

（1）$AO$ 与 $AC$ 等腰

由于 $A(3,4)$ ，利用勾股定理易得 $OA=5$ ，那么 $AC$ 也 $=5$ 。

由于 $C$ 在 $x$ 轴上，那么我们易得 $C_1(0,0)$ ， $C_2(6,0)$ 。

$C_1$ 与原点重合，舍去。

（2） $AO$ 与 $OC$ 等腰

同理 $OA=OC=5$

易得 $C_3(-5,0)$ , $C_4(5,0)$

（3） $AC$ 与 $OC$ 等腰

由于 $AC$ 与 $OC$ 都不是已知量。因此列方程求解

设 $C(x,0)$

列 $x$ = $\sqrt{(3-x)^2+(4-0)^2}$

得 $x=\frac{25}{6}$

所以 $C_5(\frac{25}{6},0)$

综上，$x$ 轴上有点 $C_2(6,0)$，$C_3(-5,0)$，$C_4(5,0)$，$C_5(\frac{25}{6},0)$，使得 $\triangle AOC$ 等腰。